روش المان محدود با مرز مقیاس شده

المان محدود با مرز مقیاس شده

روش المان محدود با مرز مقیاس شده

4-1-معرفی روش المان محدود با مرز مقیاس شده———————————————————————————-

4-2-معادلات حاکمه الاستودینامیک برای دامنه های نامحدود ناهمگن————————————

4-3-معادله المان محدود با مرز مقیاس شده در حوزه فرکانس——————————————

4-3-1-انتقال مرز مقیاس شده————————————————————–

4-3-2-توابع جابجایی گره در جهت شعاعی—————————————————–

4-3-3-معادله المان محدود با مرز مقیاس شده————————————————-

4-4-بسط مجانب ماتریس سختی دینامیکی برای فرکانس های بالا ————————————–

4-5-روش سری پدِ —————————————————————————–

4-6-روش شکست پیوسته————————————————————————

4-7-روابط المان محدود با مرز مقیاس شده در حوزه زمان———————————————

4-7-1-تقسیم بندی زمان——————————————————————

4-7-2-اولین گام زمانی——————————————————————–

4-7-3-بازه زمانی nام———————————————————————

4-8-خلاصه روابط در الاستودینامیک متقارن محور—————————————————

4-8-1-تبدیل المان محدود با مرز مقیاس شده————————————————–

4-8-2-معادلات المان محدود با مرز مقیاس شده برای دامنه­های متقارن محور با بارگذاری کلی

منابع

روش المان محدود با مرز مقیاس شده

اندركنش ديناميكي بين يك سازه و خاك نگهدارنده آن تاثير مشخصي بر پاسخ سازه به زلزله و ديگر بارهاي ديناميكي دارد. يكي از مشكلات در آناليز اندركنش ديناميكي خاك–سازه لحاظ كردن پاسخ ديناميكي دامنه نامحدود خاك مي­باشد. اكثر مطالعات موجود در اندركنش ديناميكي خاك–سازه به دامنه هاي نامحدود ايزوتروپ همگن محدود شده است. به هر حال فرض خاك­هاي همگن ايده­آل ممكن است به نتايج غير واقعي درمسائل ژئوتكنيكي منجر شود.

بدليل پروسه رسوب­گذاري طبيعي، خاكها عموماً از خود رفتار ناهمگن و غير ايزوتروپ نشان مي­دهند. كارهاي انجام شده روي آناليز ديناميكي دامنه­هاي نامحدود ناهمگن، محدود مي­باشد. کیر[1] و فریدمن[2] در سال 1972 پاسخ حوزه فركانس يك جسم را روي نيمه فضاي ايزوتروپ عرضي با استفاده از انتگرال­هاي مقدار مرزي بررسي كردند. گزتاس[3] در سال 1981 از يك روش دقيق نيمه تحليلي براي مطالعه پاسخ استاتيكي و حوزه فركانس فونداسيون­هاي نواري صلب كه روي لايه­هاي افقي قرار گرفتند استفاده کرد.

ونگ و آچن­باخ[4] در سال 1995 توابع گرين را در فضاي غير ايزوتروپ با استفاده از تبديل رادن[5] بدست آوردند. اين تبديل يك مسأله دو و يا سه بعدي ديفرانسيل جزئي را به معادلات ديفرانسيلي یک بعدي از همان نوع تبديل مي كند.

در مهندسي ژئوتكنيك، ناهمگني خاك معمولاً بوسيله افزايش مدول يانگ بصورت تابعي تواني از عمق بيان مي­شود. توان از صفر براي خاكهاي همگن تا 1 براي خاكهاي با افزايش خطي سختي تغيير مي­يابد. (شكل4-1) گیبسن[6] در سال 1967 رفتار استاتيكي خاك­هاي تراكم ناپذير را كه سختي بصورت خطي با عمق تغيير مي­كند بررسي كرد. دوهرتی[7] و دیکس[8] در سال 2003 رفتار استاتيكي خاك­هاي غيرهمگن را با استفاده از روش المان محدود با مرز مقياس شده برای فونداسيون­هاي سطحي و عميق متقارن محور بررسي كردند.

روش المان محدود با مرز مقیاس شده می­تواند براي شبيه سازي پاسخ دامنه­هاي نامحدود در حوزه فركانس استفاده شود كه مدول الاستيسيته و جرم مي­تواند بصورت توابع تواني از مختصات مكاني تغيير يابد. هندسه دامنه نامحدود و ماتريس­هاي الاستيسيته به مختصات مرزي مقياس شده انتقال مي­يابند.

معادله المان محدود با مرز مقیاس شده در دامنه جابجايي، مستقيماً از معادلات حاكمه الاستوديناميك بدست مي­آيند. براي اعمال شرط بازتابشي در بي نهايت از بسط مماسي ماتريس سختي ديناميكي براي فركانس­هاي بالا استفاده مي­شود. ماتريس سختي ديناميكي در فركانس­هاي پايين از انتگرال­گيري عددي معادلات ديفرانسيلي عادي بدست مي­آيد. تنها مرزمش بندي مي­شود كه باعث مي­شود بعد مكاني یک واحد كمتر شود و به حل اساسي نياز نمي باشد. ناهمگني مصالح به راحتي مدل مي­شود. نتايج دقت و راحتي روش المان محدود با مرز مقیاس شده را نشان مي­دهند.

در حالت سه بعدی مختصات دکارتی  و  و به مختصات  و  و  تبدیل می­شود که  محور شعاعی و  و  در امتداد مرز می­باشد. همچنین نقطه­ای به عنوان مرکز مقیاس در نظر گرفته می­شود که کل دامنه از آن نقطه قابل دیدن باشد. مرکز مقیاس در شکل 4-1الف با  و در شکل 4-2ب با  نشان داده شده است (در صورت پیدا نکردن چنین نقطه­ای دامنه به دو یا چندین زیر دامنه تقسیم می­شود). هندسه دامنه بوسیله المانهای سطحی (برای حالت سه بعدی) و المانهای خطی (برای حالت دو بعدی) بر روی مرز مقیاس شده از مرکز مقیاس و با مختصات شعاعی() مش بندی می­شود. مختصات مرزی مقیاس شده در حالت دو بعدی شبیه مختصات قطبی و در حالت سه بعدی شبیه مختصات کروی می­باشد.

روابط المان محدود با مرز مقیاس شده در حوزه زمان

پاسخ لرزه­اي يك سازه متأثر از اندركنش سازه و خاك زير آن مي­باشد. اين تأثير اندركنش ديناميكي خاك-سازه نمي­تواند در ساختمانهاي بزرگ مانند نيروگاه­هاي هسته­اي و سدها ناديده گرفته شود. براي مشخص كردن پاسخ سيستم خاك-سازه روش زير سازه مي­تواند بكار گرفته شود. چنانچه در شكل 4-6 مشخص شده است خاك نگهدارنده به يك قسمت محدود نامنظم (كه مي تواند رفتار غير خطي هم داشته باشد) و يك دامنه نامحدود منظم كه تا بي­نهايت ادامه دارد و خطي عمل مي­كند تقسيم مي­شود. هر دو سازه از طريق فصل مشترك خاك-سازه اندركنش دارد. ناحيه محدود مي­تواند با روش المان محدود استاندارد مدل شود. بزرگترين مشكل در آناليز اندركنش خاك-سازه اعمال شرط بازتابشي مي­باشد.

كارهاي زيادي با روش­هاي عددي براي محاسبه پاسخ ديناميكي كارهاي نامحدود در فيلدهاي مختلف مهندسي انجام شده است. (مانند ايروديناميك، آكوستيك، الكترومغناطيس و الاستوديناميك) اكثر روش­ها مي توانند به روشهاي سراسري و روش­هاي مكاني طبقه بندي شوند. در روش­هاي سراسري پاسخ در يك مكان و زمان خاص به پاسخ همه مكان­هاي ديگر و زمان­هاي قبل از آن از شروع حركت، بستگي دارد كه سازگار با طبيعت فيزيكي انتشار موج مي­باشد. در حالت كلي يك روش سراسري دقيق مي­باشد اما به لحاظ محاسباتي بسيار زمان گير مي­باشد.

بدليل دقت بالاي آن، شرايط مرزي مي­تواند مستقيماً بر فصل مشترك خاك-سازه قرار گيرد كه باعث كاهش تعداد درجات آزادي در ناحيه بسته و در نتيجه زمان محاسباتي مي­گردد. روش المان مرزي يك روش سراسري مي­باشد كه تنها به مش بندي مرز نياز دارد. حل اساسي بصورت خودكار شرط بازتابشي در بي نهايت و معادلات حاكمه را ارضا مي­كند اما براي مصالح غير ايزوتروپ بسيار پيچيده مي­باشد. روش لايه نازك براي محيط هاي لايه اي افقي ايجاد شده است. در اين روش مرز در جهت قائم مش بندي مي­شود. توابع جابجايي در جهت افقي انتخاب شده­اند تا شرط بازتابشي دقيقاً ارضا شود.

بعد از حل مسأله مقدار ويژه حاصل، ماتريس سختي ديناميكي در حوزه فركانس با استفاده از مقادير ويژه و بردارهاي ويژه مشخص مي­شود. تبديل فوريه مي­تواند به ماتريس سختي ديناميكي اعمال شود تا ماتريس پاسخ ضربه واحد در آناليز حوزه زمان بدست آيد. کازل[1] در سال 1992 روش لايه نازك را در حوزه زمان فرمول نويسي كرد. شرايط مرزي غير انعكاسي دقيق از طريق حل هاي تحليلي براي دامنه هاي نامحدود با هندسه ساده نيز بدست مي­آيند.

المان محدود با مرز مقیاس شده

جهت مشاهده نمونه های دیگر از ادبیات ، پیشینه تحقیق و مبانی نظری پایان نامه های مهندسی عمران کلیک کنید.

نمونه ای از منابع المان محدود با مرز مقیاس شده

• [1] Bazyar, M. H. (2007). Dynamic soil-structure interaction analysis using the scaled boundary finite-element method. Sydney:university of new south wales
• [2] Song, C. (2006). “Dynamic analysis of unbounded domains by a reduced set of base functions” Computational methods in applied mechanics and engineering. Vol.195, pp. 4075–4094.
• [3] Bazyar, M. H. & Song, C. (2006).” Time-harmonic response of non-homogeneous elastic unbounded domains using the scaled boundary finite-element method ” Earthquake Engineering and structural dynamics. Vol.35, pp. 357–383.
• [4] Bazyar, M. H. & Song, C. (2006). ” Transient analysis of wave propagation in non-homogeneous elastic unbounded domains by using the scaled boundary finite-element method”  Earthquake engineering and structural dynamics. Vol. 35, pp. 1787–1806.
• [5] Bazyar, M. H. &  Song, C. (2008) ” A continued-fraction-based high-order transmitting boundary for wave propagation in unbounded domains of arbitrary geometry” International journal for numerical methods in engineering. Vol.74, pp. 209–237.
• [6] Novak, M. (1974) “Dynamic Stiffness and Damping of Piles”Canadian geotechic journal.  Vol. 11, pp. 574-598.
• [7] Banerjee, P. K. & Davies, T. G. (1978). “The behavior of axially and laterally loaded single piles embedded in homogeneous soils” Geotechniue. Vol. 28, pp. 309-326.
• [8] Kuhlemeyer, L. (1979) “vertical vibration of piles” journal of the geotechnical engineering division. GT2, pp. 273-284.
• [9] Krishnan, R. & Gazetas, G. & Veles, A. (1983). “static and dynamic lateral deflexion of piles in non-homogeneous soil stratum” Geotechnique. Vol. 33, pp. 307-325.
• [10] Sen, R. & Kausel, v & Banerjee, P.K. (1985) “dynamic analysis of piles and pile groups embedded in non-homogeneous soils” international journal for numerical and analytical methods in geomechanics. Vol. 9, pp. 507-524.
• [11] Sen, R. & Davies, T. G. & Banerjee, P. K. (1985). ” dynamic analysis of piles and pile groups embedded in non-homogeneous soils” earthquake engineering and structural dynamics. Vol.13 pp. 53-65.
• [12] Kaynia, A. M. & Kausel, E. (1991). “Dynamics of piles and pile groups in layered soil media” soil dynamics and earthquake engineering. Vol. 10
• …
• …